Case-Study zur Arbeitslosigkeit in Deutschland

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## Organisatorische Hinweise

- Bis zum 08.05.2023 ist das 5. R-Tutor Problem Set auf Moodle hochzuladen (nur die .sub-Datei!)
- Bis zum 15.05.2023 ist das 6. R-Tutor Problem Set auf Moodle hochzuladen (nur die .sub-Datei!)
- Am 19.05.2023 findet die Probeklausur in Präsenz im Hörsaal H14 statt: Beginn 10:15 Uhr

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## Recap der Vorlesungsinhalte

- Wir hatten die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Normalverteilung besprochen
- Wir hatten über die Stichprobenvarianz, Standardfehler und Konfidenzintervalle gesprochen
- Wir hatten einen Hypothestest durchgeführt
- Wir hatten die Korrelation von zwei Variablen und die lineare Regression betrachtet
- Anschließend sind wir in der multiplen linearen Regression auch auf Interaktionsterme eingegangen

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# Empirische Analyse unserer Case-Study

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## Induktive Statistik

- Interesse gilt nicht dem Datensatz selbst, sondern der Population
  - Sie haben keine Vollerhebung durchgeführt, sondern nur eine (zufällige) Stichprobe der Population gezogen
- **Beispiel:** Mikrozensus, d.h. eine Befragung von zufällig ausgewählten Haushalten in Deutschland
- Sie wollen aus der Stichprobe schätzen, wie sich die beobachtete Größe in der Population verhält
- Es gibt viele Arten der induktiven Statistik. Die zwei häufigsten:
  - Vorhersage
  - Erkennen kausaler Zusammenhänge

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## Bereiche der induktiven Statistik

- Stichprobentheorie
  - Güte der Stichprobe; Wichtig um repräsentative Ergebnisse zu erhalten
- Schätztheorie
  - Punktschätzer und Konfidenzintervalle
- Testtheorie
  - Hypothesentest, lineare Regression

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# Wie sieht die induktive Statistik in der Praxis aus?

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## Dritter Teil der Case Study

Daten aus der Case-Study, welche wir im vorherigen Semester eingelesen und deskriptiv analysiert haben wollen wir nun mittels der induktiven Statistik näher untersuchen.

- Erster Schritt: Kurzer Recap mittels bivariater deskriptiver Statistik um den Zusammenhang verschiedener Variablen darzustellen
- Zweiter Schritt: (Multiple) lineare Regression der Daten um herauszufinden, welche Faktoren die Arbeitslosenquote in den deutschen Landkreisen treibt 
  - Darstellung mit dem Paket `modelsummary` + `kableExtra`
  - [Sehr gute Vignette des Pakets `modelsummary`](https://vincentarelbundock.github.io/modelsummary/articles/modelsummary.html)

Ziele des dritten Teils der Case Study:

- (Multiple) lineare Regression und Interpretation der Koeffizienten
- Interaktionsterme
- Besprechen der Kausalität

.alert[Im vierten RTutor Problem Set beschäftigen Sie sich auch mit der linearen Regression zu einzelnen Ländern auf europäischer Ebene und im 5. und 6. Problem Set geht es um die Kausalität.]

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## Daten und Pakete laden

Wir laden die aus Teil 1 der Case-Study erstellten Datensätze:

```r
library(tidyverse)
library(modelsummary)
library(kableExtra)
library(corrr)
```

```r
# Daten einlesen
bip_zeitreihe <- readRDS("../case-study/data/bip_zeitreihe.rds")
gesamtdaten <- readRDS("../case-study/data/gesamtdaten.rds")

# Zuerst wollen wir die Arbeitslosenquote, einen Dummy für Ostdeutschland und die Verschuldung im Verhältnis zum BIP pro Landkreisberechnen
gesamtdaten <- gesamtdaten %>%
  mutate(alo_quote = (total_alo / (erw+total_alo))*100,
         ost = as.factor(ifelse(bundesland_name %in% c("Brandenburg", "Mecklenburg-Vorpommern", "Sachsen", "Sachsen-Anhalt", "Thüringen"), 1, 0)),
         ost_name = ifelse(ost == 1, "Ostdeutschland", "Westdeutschland"),
         anteil_schulden = (Schulden_gesamt / bip)*100)

bip_wachstum <- bip_zeitreihe %>%
  filter( nchar(Regionalschluessel) == 5) %>%
  group_by(Regionalschluessel) %>%
  arrange(Jahr) %>%
  mutate( bip_wachstum = 100*(bip - lag(bip)) / bip ) %>%
  ungroup() %>%
  filter( Jahr == 2017 ) %>%
  select(Regionalschluessel, bip_wachstum, Jahr)

gesamtdaten <- left_join(gesamtdaten, bip_wachstum, by = "Regionalschluessel")
```
]

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# Bivariate deskriptive Analysen (Korrelationen)

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## Korrelation zwischen den einzelnen Variablen

Wir hatten uns im letzten Semester bereits die Korrelation der einzelnen Variablen angeschaut und wollen diese Korrelationen noch einmal aufgreifen:

.instructions[Bevor wir uns der Regressionsanalyse zuwenden schauen wir uns den Zusammenhang der unterschiedlichen Variablen erst visuell noch einmal an.]

- Wie hoch ist die Korrelation zwischen Arbeitslosenquote und BIP Wachstum?
- Wie hoch ist sie zwischen Arbeitslosenquote und dem Anteil der Schulden?
- Und schlussendlich: Wie hoch ist die Korrelation zwischen dem BIP Wachstum und dem Anteil der Schulden?

.alert[Hierdurch bekommen wir einen ersten Eindruck der Daten und werden auf mögliche Probleme aufmerksam, wie z.B. Multikolliniarität.]

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## Korrelation zwischen der Arbeitslosenquote und dem BIP Wachstum

```r
cor_alo_bip <- cor(gesamtdaten$alo_quote, 
    gesamtdaten$bip_wachstum,
    use = "pairwise.complete.obs")

gesamtdaten %>%
  ggplot(aes(x = bip_wachstum, y = alo_quote)) + 
  geom_point() + 
  labs( x = "Wachstum des BIP %", 
        y = "Arbeitslosenquote in %",
        title = "Korrelation des BIP-Wachstums und der Arbeitslosenquote") +
  theme_minimal() +
  geom_text(x = 0.02, y =13, label = paste("r = ", as.character(round(cor_alo_bip,2))))
```
]

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## Korrelation zwischen der Arbeitslosenquote und dem Anteil der Schulden

```r
cor_alo_verschuldung <- cor(gesamtdaten$alo_quote, gesamtdaten$anteil_schulden,use = "pairwise.complete.obs")

gesamtdaten %>%
  ggplot(aes(x = anteil_schulden, y = alo_quote)) + 
  geom_point() + 
  labs( x = "Anteil der Schulden am BIP in %", 
        y = "Arbeitslosenquote in %",
        title = "Korrelation der öffentlichen Verschuldung und der Arbeitslosenquote") +
  theme_minimal() +
  geom_text(x = 0.02, y =13, label = paste("r = ", as.character(round(cor_alo_verschuldung,2))))
```
]

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## Korrelationsmatrix

```r
korrelationen <- gesamtdaten %>%
  select(bip_wachstum, anteil_schulden, alo_quote) %>%
  correlate() %>% # Korrelationen erzeugen
  rearrange() %>%  # Sortieren nach Korrelation
  shave() # Oberen Teil der Tabelle abschneiden

fashion(korrelationen)
```

```
##              term bip_wachstum alo_quote anteil_schulden
## 1    bip_wachstum                                       
## 2       alo_quote         -.09                          
## 3 anteil_schulden         -.14       .59
```

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## Interpretation der Korrelation

- Hat an sich keine intuitive quantitative Interpretation
- Ist eine univariate Repräsentation des Zusammenhangs zweier Variablen
- Kann dabei helfen stark korrelierte Variablen im Datensatz aufzuzeigen
  - Dies ist für eine spätere lineare Regression wichtig
  - Stichwort Multikollinearität

In empirischen Arbeiten wird meist auf die lineare Regression zurückgegriffen und nicht auf die Analyse von Korrelationen:
  - Schätzer aus der linearen Regression sind BLUE (best linear unbiased estimator)
  - Wir können auf mehrere Variablen kontrollieren in der linearen Regression

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# Einfache lineare Regression

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## Lineare Regression

Zur weiteren Analyse wollen wir uns der linearen Regression bedienen:

$$ 
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i, \, i=1,\dots,N 
$$

Wobei wir die Arbeitslosenquote ( `$y_i$` ) auf das BIP Wachstum ( `$x_i$` ) regressieren.

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## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

```r
bip <- lm(alo_quote ~ bip_wachstum, data = gesamtdaten)

modelsummary(list(bip, bip, bip), 
          type = "html",
          statistic = NULL,
          fmt = 2,
          estimate  = c("estimate",
                "{estimate}{stars}",
                "{estimate} [{conf.low}, {conf.high}]"),
          title = "Arbeitslosigkeit auf BIP-Wachstum",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("bip_wachstum" = "BIP-Wachstum", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 3))
```

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## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Arbeitslosigkeit auf BIP-Wachstum</caption>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="3"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
   <th style="text-align:center;">   (2) </th>
   <th style="text-align:center;">   (3) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.68 </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.68*** </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.68 [5.23, 6.14] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.23) </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.23) </td>
   <td style="text-align:center;"> (0.23) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> BIP-Wachstum </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.09 </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.09+ </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.09 [−0.19, 0.01] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> (0.05) </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> (0.05) </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> (0.05) </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 399 </td>
   <td style="text-align:center;"> 399 </td>
   <td style="text-align:center;"> 399 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.007 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.007 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.007 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.005 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.005 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.005 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

```r
bip <- lm(alo_quote ~ bip_wachstum, data = gesamtdaten)

modelsummary(bip, 
          type = "html",
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          fmt = 2,
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("bip_wachstum" = "BIP-Wachstum", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 1))
```

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## Arbeitslosenquote auf das BIP Wachstum regressieren

<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="1"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 5.68 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [5.09, 6.28] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> BIP-Wachstum </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.09 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> [−0.22, 0.04] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 399 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.007 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.005 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

- 399 Beobachtungen
- R² mit 0.01 recht klein
    - R² kann künstlich nach oben getrieben werden, darum besser _adjusted_ R² anschauen
- R² ist irrelevant wenn wir unsere Schätzer kausal interpetieren wollen
    - R² misst die Variation in `$y$`, diese wollen wir aber gar nicht erklären, sondern ob `$x$` einen kausalen Einfluss auf `$y$` hat!
- R² ist wichtiger bei Vorhersagen
    - Bei Vorhersagen möchten wir nach Möglichkeit `$y$` so gut es geht erklären.
- Bei Zeitreihendaten ist das R² tendenziell immer höher als bei Querschnitts- oder Paneldaten

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## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

Interessanter: Der geschätze Koeffizient zum `BIP-Wachstum` in Höhe von 0,09.

> Eine um 1 Prozentpunkt höheres BIP Wachstum korrespondiert im Durchschnitt mit einer um 0,09 Prozentpunkte niedrigeren Arbeitslosenquote.

> Die erwartete Arbeitslosenquote bei einem Wachstum von 0% liegt im Durchschnitt bei 5,68 Prozent.

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## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

Weitere wichtige Erkenntnis aus der Tabelle:

- Der Koeffizient von `BIP-Wachstum` ist auf dem 10%-Niveau signifikant

Landkreise mit einem höheren BIP Wachstum könnten neue Unternehmen angesiedelt haben, welche neue Mitarbeiter brauchen. Daher würde ein entsprechend negativer Zusammenhang zwischen BIP-Wachstum und Arbeitslosenquote unseren Erwartungen entsprechen.

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## Arbeitslosenquote auf öffentliche Schulden regressieren

```r
schulden <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden, data=gesamtdaten)

modelsummary(schulden, 
          type = "html",
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit auf Anteil der Schulden pro Landkreis",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 1))
```

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## Arbeitslosenquote auf öffentliche Schulden regressieren

<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Arbeitslosigkeit auf Anteil der Schulden pro Landkreis</caption>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="1"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.37 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.95, 3.80] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.25 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> [0.21, 0.30] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.354 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.352 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

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## Erkenntnisse aus der Regressionstabelle

Der geschätze Koeffizient zum `Anteil der öffentlichen Schulden` lieg bei 0,25.

> Eine um 1 Prozentpunkt höhere Verschuldung korrespondiert im Durchschnitt mit einer um 0,25 Prozentpunkte höheren Arbeitslosenquote

Die Interpretation der Konstante wäre dann wie folgt:

> Für einen Landkreis ohne Verschuldung wäre die erwartete Arbeitslosenquote im Durchschnitt bei 3,37 Prozent.

.alert[Ein stark verschuldeter öffentlicher Haushalt hat potentiell weniger Gewerbeeinnahmen und da dort potentiell weniger Unternehmen vorhanden sind in denen Arbeitnehmer angestellt sein könnten.]

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# Multiple lineare Regression

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## Multiple lineare Regression

- Sowohl das BIP Wachstum, als auch die öffentliche Verschuldung sind wichtige Faktoren zur Erklärung der Arbeitslosenquote
- Öffentliche Verschuldung schien wichtiger zu sein, doch können wir beide Variablen in EINE Regression aufnehmen?

`\begin{equation}
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + ... + \beta_K x_{iK} + \varepsilon_i, \, i=1,\dots,N 
\end{equation}`

- Durch die multiple lineare Regression können wir den Effekt einer unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable untersuchen und zusätzlich auf den Effekt anderer Variablen **kontrollieren**. 
- Konkret: BIP-Wachstum und öffentliche Verschuldung in eine Regression packen!

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## Multiple lineare Regression

```r
multi <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden + bip_wachstum, data=gesamtdaten)

modelsummary(multi, 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit auf Anteil Schulden und BIP-Wachstum",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "bip_wachstum" = "BIP-Wachstum", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 1))
```

---

## Multiple lineare Regression

.pull-left[
<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Arbeitslosigkeit auf Anteil Schulden und BIP-Wachstum</caption>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="1"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.37 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.74, 4.00] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.25 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.21, 0.30] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> BIP-Wachstum </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.00 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> [−0.11, 0.11] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.354 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.351 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right[
- Varianz wird zum Größten Teil durch die öffentlichen Schulden erklärt
- Schätzer für die Verschuldung bleibt in Höhe und Signifikanz bestehen
- BIP-Wachstum nicht mehr signifikant und Koeffizient deutlich kleiner
]

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# Sample Splits und Interaktionsmodell

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

Durch die deskriptive Analyse wissen wir, dass es große Unterschiede zwischen ost- und westdeutschen Landkreisen gibt (und das in allen untersuchten Dimensionen).

.question[Gilt der dokumentierte Zusammenhang zwischen dem Anteil der öffentlichen Verschuldung und der Arbeitslosenquote für Ost- und Westdeutschland gleichermaßen?]

Um dieser Frage auf den Grund zu gehen wollen wir im ersten Schritt die Variable `Ostdeutschland` in unserer Regression hinzufügen:

```r
schulden <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden + ost, data=gesamtdaten)

modelsummary(schulden, 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "ost1" = "Ostdeutschland", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 1))
```

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

.pull-left[
<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen</caption>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="1"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.20 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.81, 3.59] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.22 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.18, 0.26] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ostdeutschland </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.04 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> [1.46, 2.63] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.464 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.462 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
]

.pull-right[
- `Ostdeutschland` ist eine Dummyvariable, welche 1 ist für alle ostdeutschen Landkreise
- In ostdeutschen Landkreisen ist die Arbeitslosigkeit im Durchschnitt um 2.04 Prozentpunkte höher als in westdeutschen Landkreisen
- Koeffizient signifikant auf dem 1%-Signifikanzniveau
- Höheres R² (Varianz in der Alo-quote kann besser erklärt werden)
- Keine Auswirkung auf den Koeffizienten der öffentlichen Verschuldung
]

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

- Wir wollten wissen, ob der Zusammenhang zwischen öffentlicher Verschuldung und Arbeitslosenquote für alle ost- und westdeutschen Landkreise gleichermaßen gilt

.instruction[Dafür müssen wir die Variable `Ostdeutschland` mit der Variablen `Anteil Schulden` **interagieren**!]

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

```r
schulden <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden + ost, data=gesamtdaten)
ost <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden, data=filter(gesamtdaten, ost==1))
west <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden, data=filter(gesamtdaten, ost==0))
interaktion <- lm(alo_quote ~ anteil_schulden*ost, data=gesamtdaten)

modelsummary(list(schulden, interaktion, west, ost), 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "ost1" = "Ostdeutschland", "(Intercept)" = "Konstante")
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 4))
```

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen</caption>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
   <th style="text-align:center;">   (2) </th>
   <th style="text-align:center;">   (3) </th>
   <th style="text-align:center;">   (4) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.12 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.12 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6.95 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.81, 3.59] </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.73, 3.52] </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.74, 3.50] </td>
   <td style="text-align:center;"> [4.95, 8.94] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.22 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.23 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.23 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.05 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.18, 0.26] </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.19, 0.28] </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.19, 0.28] </td>
   <td style="text-align:center;"> [−0.14, 0.24] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ostdeutschland </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.04 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.82 </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [1.46, 2.63] </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.06, 5.59] </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden:Ostdeutschland </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.18 </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> [−0.35, −0.01] </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Num.Obs. </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
   <td style="text-align:center;"> 321 </td>
   <td style="text-align:center;"> 76 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.464 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.475 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.410 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.008 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> R2 Adj. </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.462 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.471 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.408 </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.006 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

## Darstellung der GOF

gm <- tibble::tribble(
  ~raw,        ~clean,          ~fmt,
  "nobs",      "N",             0,
  "adj.r.squared", "Adj. R<sup>2</sup>", 2)

modelsummary(list(schulden, interaktion, west, ost), 
          type = "html", 
          fmt = 2,
          statistic = 'conf.int', 
          conf_level = .99,
          title = "Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen",
          gof_omit = 'DF|Deviance|Log.Lik.|F|RMSE|AIC|BIC',
          coef_rename = c("anteil_schulden" = "Anteil der Schulden", "ost1" = "Ostdeutschland", "(Intercept)" = "Konstante"),
          gof_map = gm
          ) %>%
  add_header_above(c(" " = 1,"Alo-quote" = 4))
```

---

## Darstellung der GOF

<table class="table" style="width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<caption>Arbeitslosigkeit mit Interaktionstermen</caption>
 <thead>
<tr>
<th style="empty-cells: hide;border-bottom:hidden;" colspan="1"></th>
<th style="border-bottom:hidden;padding-bottom:0; padding-left:3px;padding-right:3px;text-align: center; " colspan="4"><div style="border-bottom: 1px solid #ddd; padding-bottom: 5px; ">Alo-quote</div></th>
</tr>
  <tr>
   <th style="text-align:left;">   </th>
   <th style="text-align:center;">  (1) </th>
   <th style="text-align:center;">   (2) </th>
   <th style="text-align:center;">   (3) </th>
   <th style="text-align:center;">   (4) </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Konstante </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.20 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.12 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.12 </td>
   <td style="text-align:center;"> 6.95 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.81, 3.59] </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.73, 3.52] </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.74, 3.50] </td>
   <td style="text-align:center;"> [4.95, 8.94] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.22 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.23 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.23 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.05 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.18, 0.26] </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.19, 0.28] </td>
   <td style="text-align:center;"> [0.19, 0.28] </td>
   <td style="text-align:center;"> [−0.14, 0.24] </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Ostdeutschland </td>
   <td style="text-align:center;"> 2.04 </td>
   <td style="text-align:center;"> 3.82 </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> [1.46, 2.63] </td>
   <td style="text-align:center;"> [2.06, 5.59] </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Anteil der Schulden:Ostdeutschland </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.18 </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
   <td style="text-align:center;">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px"> [−0.35, −0.01] </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
   <td style="text-align:center;box-shadow: 0px 1.5px">  </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> N </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
   <td style="text-align:center;"> 397 </td>
   <td style="text-align:center;"> 321 </td>
   <td style="text-align:center;"> 76 </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Adj. R<sup>2</sup> </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.46 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.47 </td>
   <td style="text-align:center;"> 0.41 </td>
   <td style="text-align:center;"> −0.01 </td>
  </tr>
</tbody>
</table>

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

--
- Spalte 2 repräsentiert das Interaktionsmodell
- In Spalte 3 und 4 wurden separate Regressionen für alle westdeutschen (Spalte 3) und ostdeutschen (Spalte 4) Landkreise durchgeführt
- Analyse von Spalte 2 im Zusammenspiel mit Spalte 3 und 4 erleichtert das Verständis für die Interaktionsvariable

--
- **Konstante:** 
  - In Spalte 3 (für Westdeutsche) bei 3.12, was dem Wert aus Spalte 2 (Interaktionsmodell) entspricht.
  - In Spalte 4 (für Ostdeutsche) bei 6.95
  - Die durchschnittliche Arbeitslosenquote für einen unverschuldeten ostdeutschen Landkreis liegt deutlich höher als bei einem westdeutschen (3.12 Prozent vs. 6.95 Prozent)

`$\rightarrow$` Dummy Variable `Ostdeutschland` und die Konstante aufaddieren: `Ostdeutschland + Constant` = `3.82 + 3.12` = `6.94` (Achtung: Rundung)!

---

## Sample Splits und Interaktionsmodell

- **Anteil Schulden:**
    - In Spalte 3 (für Westdeutsche) bei 0.23, was dem Wert aus Spalte 2 (Interaktionsmodell) entspricht
    - In Spalte 4 (für Ostdeutsche) ist der Zusammenhang deutlich kleiner und insignifikant
    - Für alle westdeutschen Landkreise gibt es einen signifikanten Zusammenhang zwischen der öffentlichen Verschuldung und der Arbeitslosenquote    
    - Direkt ersichtlich das der Zusammenhang für ostdeutsche Landkreise signifikant kleiner ist als für westdeutsche (um -0.18 Prozentpunkte, der Koeffizient von `Anteil Schulden * Ostdeutschland`

`$\rightarrow$` Wenn wir uns den Zusammenhang für alle ostdeutschen Landkreise berechnen möchten, dann ergibt sich dieser als `Anteil Schulden + Anteil Schulden * Ostdeutschland` = `0.23 + (-0.18)` = `0.05`

**Vorteil des Interaktionsmodells:**

Durch das Interaktionsmodell nutzen wir **eine** Regression und verwenden den kompletten Datensatz, dadurch hat unsere Regression mehr Power um Effekte zu finden.

---

# Sind diese Ergebnisse _kausal_ zu interpretieren?

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## Sind diese Ergebnisse _kausal_ zu interpretieren?

- Basieren auf Beobachtungsdaten
- Arbeitslosenquote könnte noch von vielen anderen Faktoren beeinflusst sein, welche wir hier nicht aufgenommen haben (z.B. der Bevölkerungszuwachs oder die Inflation)
- Um kausale Effekte messen zu können müssten wir entweder ein kontrolliert randomisiertes Experiment durchführen oder uns ein natürliches Experiment in den Daten zunutze machen

.instructions[Kausale Antworten auf verschiedenste Fragen wollen wir in den folgenden Vorlesungseinheiten auf der Basis anderer Datensätze tätigen.]

---

## Zusammenfassung

- Es gibt starke regionale Unterschiede in Deutschland
- Der Anteil der öffentlichen Schulden scheint ein wichtiger Faktor zur Vorhersage der Arbeitslosenquote zu sein
- Eine fundierte deskriptive Analyse schafft die Grundlage für eine spätere fundierte tiefergehende Analyse mittels linearer Regression

---

## Übungsaufgaben

Im ersten Teil der Case Study hatten Sie sich noch die durchschnittlichen Einkommen auf Landkreisebene in R eingelesen und im zweiten Teil deskriptiv untersucht. Nun sollten Sie diese Tabelle mittels linearer Regression analysieren:

- Erstellen Sie eine Regressionstabelle mittels `modelsummary` in der Sie die Arbeitslosenquote auf die Einkommen für das Jahr 2017 regressieren.
  - Interpretieren Sie ihre Ergebnisse
- Erstellen Sie ein Interaktionsmodell incl. Sample Split mittels `modelsummary` und interpretieren Sie die Ergebnisse ihrer Regressionen.